Question

9．已知等边三角形ABC中，E是AB边上一动点（与A、B不重合），D是CB延长线上的一点，且DE=EC．
（1）当E是AB边上中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）当E是AB边上任一点时，小敏与同桌小聪讨论后，认为（1）中的结论依然成立，并进行了如下解答：解：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F
（请你按照上述思路，补充完成全部解答过程）
（3）当E是线段AB延长线上任一点时，如图3．（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一证明；
（2）证明△DBE≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；
（3）作EF∥AC交BD于F，证明△DEF≌△CEB，根据全等三角形的性质证明即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，E是AB边上中点，
∴AE=BE，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCA=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴∠EDB=∠BED，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
故答案为：=；
（2）∵EF∥BC，
∴△AEF是等边三角形，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠CEF}\\{BE=CF}\\{∠BED=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=AE；
（3）如图3，作EF∥AC交BD于F，
则△BEF为等边三角形，
∴∠EFB=∠EBF=60°，
∴∠EFD=∠EBC=120°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
在△DEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFD=∠EBC}\\{∠D=∠ECB}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CEB，
∴DF=BC，
∴DF+FB=AB+BE，
∴BD=AE．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．