已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点.分别过点A.C向直线BP作垂线.垂足分别为E.F.点O为AC的中点．(1)当点P与点O重合时如图1.求证:OE=OF(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转.当点P在对角线AC上时.且∠OFE=30°时.如图2.猜想线段CF.AE.OE之间有怎样的数量关系?并给予证明．(3)当点P在对角线CA的延长线上时.且∠OFE=30� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF
（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当点P在对角线AC上时，且∠OFE=30°时，如图2，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？并给予证明．
（3）当点P在对角线CA的延长线上时，且∠OFE=30°时，如图3，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？直接写出结论即可．

分析（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．
（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．
（3）图3中的结论为：CF=OE-AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．

解答解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．

（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．
图3中的结论为：CF=OE-AE．
选图2中的结论证明如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EOA和△GOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GCO}\\{AO=OC}\\{∠AOE=∠COG}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△GOC（ASA），
∴EO=GO，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°-30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=GF，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE．
选图3的结论证明如下：
延长EO交FC的延长线于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
在△AOE和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠G}\\{∠AOE=∠GOC}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OE=OG，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°-30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG-CG，
∴CF=OE-AE．

点评本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

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