Question

20．如图，Rt△AOB中，OA⊥OB，⊙O与AB相切于点E，AO、BO的延长线交⊙O于C、D．若⊙O的半径为1，求四边形ABCD的面积最小值．

Answer 1

分析 由切线的性质得出OE⊥AB，由三角形的面积得出OA•OB=AB•OE=AB•1=AB，得出OA+OB=$\sqrt{A{B}^{2}+2AB}$，得出四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{A{B}^{2}+2AB}$+AB），得出斜边AB最小时，面积最小，取斜边AB的中点F，连接OF，OF最小时，AB最小，得出F与E重合时，AB最小，此时AB=2，△AOB为等腰直角三角形，得出△AOE和△BOE为等腰直角三角形，因此OA=OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$，即可得出四边形ABCD的面积最小值．

解答 解：∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵OA⊥OB，
∴OA•OB=AB•OE=AB•1=AB，
∴OA+OB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}+2OA•OB}$=$\sqrt{A{B}^{2}+2AB}$，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（1+OA）（1+OB）=$\frac{1}{2}$（1+OA+OB+OA•OB）=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{A{B}^{2}+2AB}$+AB），
∵AB²+2AB，当AB＞0时，随AB的增大而增大，
∴斜边AB最小时，面积最小，
取斜边AB的中点F，连接OF，如图所示：
则OF最小时，AB最小，
故F与E重合时，AB最小，
此时AB=2，△AOB为等腰直角三角形，
∴△AOE和△BOE为等腰直角三角形，
∴OA=OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$，
∴四边形ABCD的面积最小值=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$）²=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质、完全平方公式、三角形和四边形面积的计算、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题有一定难度，证出AB最小时，四边形ABCD的面积最小是解决问题的关键．