Question

9．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①3a+2b+c＜0；
②3a+c＜b²-4ac；
③方程2ax²+2bx+2c-5=0没有实数根；
④m（am+b）+b＜a（m≠-1）．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①根据当x=1时y＜0、对称轴x=-$\frac{b}{2a}$及a＜0可判断；
②结合①及抛物线与x轴交点情况可判断；
③由2ax²+2bx+2c-5=0可得ax²+bx+c=$\frac{5}{2}$，根据抛物线与直线y=$\frac{5}{2}$交点情况判断；
④由m（am+b）+b＜a得a-b+c＞am²+bm+c，根据函数最值可判断．

解答 解：由图象可知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，
∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，a＜0，
∴b=2a＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，
∴3a+b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
∴3a+c＜0＜b²-4ac，故②正确；
∵2ax²+2bx+2c-5=0，
∴ax²+bx+c=$\frac{5}{2}$，
结合图象可知，抛物线y=ax²+bx+c与直线y=$\frac{5}{2}$无交点，
∴方程ax²+bx+c=$\frac{5}{2}$无实数根，即2ax²+2bx+2c-5=0无实数根，故③正确；
∵当x=m（m≠-1）时，y=am²+bm+c，且当x=-1时，函数y取得最大值，
∴a-b+c＞am²+bm+c，
∴m（am+b）+b＜a，故④正确；
综上，正确结论有①②③④共4个，
故选：A．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是根据二次函数的图象获得有关信息，对要求的式子进行判断，以及二次函数与方程之间的转换．