Question

12．如图，△ABC三边的长分别为AB=4，BC=5，CA=6，直线l∥BC分别交△ABC的两边AB、AC于点M、N．
（1）若直线l平分△ABC的面积，则线段MN的长为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
（2）若直线l过△ABC的内心I，试求MN的长为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出△AMN∽△ABC，由相似三角形的性质得出$\frac{MN}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求出MN的长；
（2）连接BI、CI，由平行线的性质解三角形的内心性质得出∠MIB=∠MBI，∠NIC=∠NCI，证出BM=IM，CN=IN，由平行线的性质得出△AMN∽△ABC，得出$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{4}{5}$，$\frac{AN}{MN}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{6}{5}$，设AM=4a，则MN=5a，得出BM=4-4a，CN=6-6a，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵直线l平分△ABC的面积，
∴△ABC的面积=2△AMN的面积，
∵l∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{MN}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
（2）连接BI、CI，如图所示：
∵MN∥BC，
∴∠MIB=∠IBC，∠NIC=∠ICB，
∵I为△ABC的内心，
∴∠MBI=∠IBC，∠NCI=∠ICB，
∴∠MIB=∠MBI，∠NIC=∠NCI，
∴BM=IM，CN=IN，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{4}{5}$，$\frac{AN}{MN}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{6}{5}$，
设AM=4a，则MN=5a，
∴BM=4-4a，CN=6-6a，
∴5a=4-4a+6-6a，
解得：a=$\frac{2}{3}$，
∴MN=5×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$；
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了三角形的内心性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．