已知.如图1.已知抛物线y=a(x-h)2+k经过等边△ABD的三个顶点.点A和点B在x轴上.DH⊥AB于H.点E在DH上.AH=2$\sqrt{3}$.(1)求此抛物线的解析式,(2)在x轴上方的抛物线上有一动点P.过P作平行于y轴的直线PQ.交直线OE于点Q.设PQ长为d.P点的横坐标为t.求d与t的函数关系式.并直接写出t的取值范围,问的条件下.如图2.在点P的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知，如图1，已知抛物线y=a（x-h）²+k经过等边△ABD的三个顶点，点A和点B在x轴上，DH⊥AB于H，点E（-2，2）在DH上，AH=2$\sqrt{3}$，
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过P作平行于y轴的直线PQ，交直线OE于点Q，设PQ长为d，P点的横坐标为t，求d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，如图2，在点P的运动过程中，连接PH交等边△ABD的边BD或AD于点M，以MH为边作等边△HMN，使点N在线段HM的上方，连接DN，当M在BD上时，∠BDN=∠DOE；或当M在DA上时，∠ADN=∠DOE；请求出满足条件的d的值．

分析（1）如图1中，首先求出点D以及点A坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图2中，分两种情形①当-2-2$\sqrt{3}$＜t≤-4时，②当-4＜t＜2$\sqrt{3}$-2时，分别求解即可．
（3）①如图3中，当点M在AD上时，作EP⊥OD于P，NK⊥AD于K，MG⊥AB于G．由△DPE∽△OHO得$\frac{ED}{DO}$=$\frac{PE}{OH}$=$\frac{DP}{DH}$，求出EP、OP，推出tan∠DOE=tan∠ADN=$\frac{EP}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
由△NMK≌△MHG，推出NG=MG，MK=HG，设AG=a，则AM=2a，MG=KN=$\sqrt{3}$a，GH=KM=2$\sqrt{3}$-a，DK=2NK=2$\sqrt{3}$a，可得2a+2$\sqrt{3}$-a+2$\sqrt{3}$a=4$\sqrt{3}$，求出点M坐标，求出直线HM的解析式，解方程组求出点P的横坐标，即可解决问题．②如图4中，当点M在BD上时，根据对称性可知点P的横坐标为1，由此即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，

∵△ABD是等边三角形，DH⊥AB，
∴AH=BH=2$\sqrt{3}$，
∵E（-2，2），
∴A（-2-2$\sqrt{3}$，0），B（2$\sqrt{3}$-2，0），
在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，∠ADH=30°，
∴AD=2AH=4$\sqrt{3}$，DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=6，
∴D（-2，6），
∴抛物线的解析式为y=a（x+2）²+6，把A（-2-2$\sqrt{3}$，0）代入得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）²+6．
即y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+4．

（2）如图2中，

∵E（-2，2），
∴直线OE的解析式为y=-x，设P（t，-$\frac{1}{2}$t²-2t+4），则Q（t，-t）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴当-2-2$\sqrt{3}$＜t≤-4时，d=-t-（-$\frac{1}{2}$t²-2t+4）=$\frac{1}{2}$t²+t-4．
当-4＜t＜2$\sqrt{3}$-2时，d=（-$\frac{1}{2}$t²-2t+4）-（-t）=-$\frac{1}{2}$t²-t+4．

（3）①如图3中，当点M在AD上时，作EP⊥OD于P，NK⊥AD于K，MG⊥AB于G．

由△DPE∽△OHO得$\frac{ED}{DO}$=$\frac{PE}{OH}$=$\frac{DP}{DH}$，
∴$\frac{4}{2\sqrt{10}}$=$\frac{PE}{2}$=$\frac{DP}{6}$，
∴PE=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，DP=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴OP=DO-DP=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴tan∠DOE=tan∠ADN=$\frac{EP}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠DPH=∠DPN+∠NMH=∠DAH+∠AHP，
∵∠NMH=∠DAH=60°，
∴∠KNM=∠MHG，
∵MN=MH，∠NKM=∠MGH=90°，
∴△NMK≌△MHG，
∴NG=MG，MK=HG，
设AG=a，则AM=2a，MG=KN=$\sqrt{3}$a，GH=KM=2$\sqrt{3}$-a，DK=2NK=2$\sqrt{3}$a，
∴2a+2$\sqrt{3}$-a+2$\sqrt{3}$a=4$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$，
∴OG=$\frac{24\sqrt{3}+10}{11}$，
∴点M坐标（-$\frac{24\sqrt{3}+10}{11}$，$\frac{12\sqrt{3}-6}{11}$），∵H（-2，0），
∴直线HM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+4}\end{array}\right.$解得x=-5或3（舍弃），
∴t=-5，
∴d=$\frac{1}{2}$×25-5-4=$\frac{7}{2}$．
②如图4中，当点M在BD上时，根据对称性可知点P的横坐标为1，

∴t=1，
∴d=-$\frac{1}{2}$-1+4=$\frac{5}{2}$，
综上所述，满足条件的d的值为$\frac{7}{2}$或$\frac{5}{2}$．