Question

3．已知二次函数的图象的对你轴是x=2，在x轴上截得的线段长为8，且过点（5，-7），求解下列问题：
（1）函数的解析式；
（2）作出函数的图象．

Answer 1

分析 （1）根据所截线段长度为8，设两个交点分别为（m，0）和（m-8，0），根据抛物线的对称性，且对称轴为x=2，求出两点的坐标；根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求出顶点坐标、与y轴的交点，抛物线经过点（-2，0），（6，0），（5，-7），利用五点法画出图象即可．

解答 解：（1）∵抛物线在x轴上截得的线段长为8，
∴可设抛物线与x轴的交点分别为（m，0）和（m-8，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴$\frac{m+m+8}{2}=2$，解得m=-2，
∴抛物线与x轴的交点分别为（-2，0），（6，0），
设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x-6），
点（5，-7）在抛物线上，
∴-7=a（5+2）（5-6），解得a=1，
∴抛物线解析式为：y=（x+2）（x-6）=x²-4x-12；
（2）图象如图所示：
∵抛物线解析式为：y=x²-4x-12，
∴当x=0时，y=-12，即抛物线与y轴交于点（0，-12），
∵y=x²-4x-12=（x-2）²-16，
∴抛物线的顶点坐标为：（2，-16）．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，能够根据抛物线在x轴上截得线段为8，用含m的式子表示出两点，利用对称性求出两点的坐标是解决此题的关键．