题目内容
4．
如图，在平面直角坐标系中，将面积为2的长方形OABC向右翻转90°，点B落在点D处，已知点B在函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，OA=2．（1）求k的值，并直接写出点D的坐标；
（2）点A、D关于直线l对称，则在备用图1中，先画出直线l，再求直线l的函数解析式；
（3）若点M是y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上的动点，点N是x轴上的动点，当以A、D、M、N顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
分析 （1）根据长方形OABC的面积为2，OA=2求出OC的长，再由图形旋转的性质得出D点坐标即可；
（2）设点E为线段AD的中点，根据AD的坐标得出E点坐标，再由点A、D关于直线l对称可知直线l是线段AD的垂直平分线，利用待定系数法求出直线AD的解析式，同理可得出直线l的解析式；
（3）设N（x，0），M（a，$\frac{2}{a}$），再分AM为平行四边形的边与对角线两种情况进行讨论．
解答 
解：（1）∵长方形OABC的面积为2，OA=2，
∴OC=1，
∴B（1，2），
∴k=1×2=2；
∵长方形OABC向右翻转90°，点B落在点D处，
∴CD=BC=2，
∴D（3，0）；
（2）如图1，设点E为线段AD的中点，
∵A（0，2），D（3，0），
∴E（$\frac{3}{2}$，1）．
∵点A、D关于直线l对称，
∴直线l是线段AD的垂直平分线．
设直线AD的解析式为y=ax+b（a≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ 3a+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2．
∵l⊥AD，
∴设直线l的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+c，
∴$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$+c=1，解得c=-$\frac{5}{4}$，
∴直线l的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{4}$；
（3）如图2，设N（x，0），M（a，$\frac{2}{a}$），
当AM为平行四边形的边时，
∵AM∥DN，AB∥DN，
∴点B与点M重合．
∵AM=DN，且B（1，2），D（3，0），
∴N（2，0），M（1，2）；
当AM为平行四边形的对角线时，
∵A（0，2），
∴$\frac{a}{2}$=$\frac{3+x}{2}$，$\frac{\frac{2}{a}+3}{2}$=0，解得a=0不合题意．
故N（2，0）．
点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，难度适中．
如图，FG可用端点标有字母的线段的差把它表示出来，这种表示方法共有3种．
如图，直线a∥b，A，C是直线a上的两点，B，D是直线b上的两点，AB⊥b，若要使AB=CD，可添加一个条件CD⊥b．
直线y=-$\frac{4}{3}$x+8交x轴于点B，交y轴于点A，作∠ABO的平分线交y轴于点C，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得线段AD，点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上．