Question

8．平面上有A、B、C三点，在此平面上能否找到一个点O，使点O到A、B、C三点的距离相等？如果能，请作出这个点；如果不能，请用反证法加以证明．

Answer 1

分析 分成A、B、C不在一条直线上和在一条直线上两种情况进行讨论，第一种情况利用尺规作图即可作出，第二种情况利用反证法即可证得．

解答 证明：当A、B、C不在一条直线上时，

AB和AC的中垂线的交点就是O；
当A、B、C在一条直线上时：
证明：设三点都在直线l上．
假设经过A、B、C三点的圆存在，圆心O一定在线段AB的垂直平分线l₁上，则l⊥l₁，
同时圆心O一定在线段BC的垂直平分线l₂上，则l⊥l₂，
则l₁∥l₂，与O在l₁和l₂上，即l₁和l₂相交相矛盾．
则经过在同一直线上的三点的圆不存在．

点评 本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．