Question

3．在△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D
（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；
（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；
（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC+BD；
（2）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC-BD；
（3）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=BD-AC．

解答 解：（1）如图1，∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠ODB=90°}\\{∠OAC=BOD}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=AC+BD；

（2）如图2，∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠ODB=90°}\\{∠OAC=BOD}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=OD-OC=AC-BD，即CD=AC-BD．

（3）如图3，∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠ODB=90°}\\{∠OAC=BOD}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=OC-OD=BD-AC，
即CD=BD-AC．

点评 此题考查了几何变换综合题．需要掌握全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．