Question

13．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD点P，求∠FPC的度数．

Answer 1

分析 首先延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．

解答 解：延长PF交AB的延长线于点G．
在△BGF与△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBF=∠PCF}\\{BF=CF}\\{∠BFG=∠CFP}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$PG，
∵PF=$\frac{1}{2}$PG，
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP-∠FEP=∠EPC-∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，
∴∠FPC=55°．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．