Question

18．如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③
（1）求证：AD=BD；
（2）求折痕DE的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质，可求得BC′的长，然后在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4 cm，可求得AB的长，继而求得AC′的长，易得DC′为线段AB的垂直平分线，继而证得结论；
（2）首先在Rt△DCB中，∠DBC′=30°，求得DC′的长，然后在Rt△DC′E中，∠EDC′=30°，求得答案．

解答 解：（1）证明：由翻折可知，BC′=BC=4，
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4 cm，
∴AB=2BC=8 cm
∴AC′=8-4=4 cm，
∴AC′=BC′，
又∵∠DC′B=∠C=90°，
∴DC′为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD；

（2）解：∴在Rt△DCB中，∠DBC′=30°，
∴DC′=$\frac{BC′}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△DC′E中，∠EDC′=30°，
∴DE=$\frac{2}{\sqrt{3}}$DC′=$\frac{8}{3}$．

点评 此题考查了折叠的性质、含30°角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．