题目内容

如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OC与x轴重合，OA与y轴重合，BC=4，D是OC上一点，且OD，DC的长是一元二次方程x2-10x+16=0的两个根（OD＞DC）．
（1）求直线BD的函数解析式；
（2）在AB上有一动点P（不与A、B重合）自A点沿AB方向向B匀速运动，运动速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒，过P点作PE∥BD交AD于E，过P点作PF∥AD交BD于F，求四边形DEPF的面积s与时间t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下是否存在一点P，以A、P、D为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出相应点P的坐标；若不存在请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）先解方程求得OD、DC的值，进而根据矩形的性质得出B、D的坐标，应用待定系数法即可求得直线BD的解析式；
（2）先根据S△ADB=S矩形-S△OAD-S△BDC求得△ADB的面积，然后根据三角形相似，求得S△AEP，S△BPF的值，最后根据S=S△ADB-S△AEP-S△AEP得出解析式；
（3）有两种情况：当PD=AP时，则t2=（8-t）2+42，解得：t=5，当AP=AD时，则t=
OA2+OD2
=
42+82
=4
5
，从而求得P的坐标．
解答：解：（1）解x2-10x+16=0，得x=2或x=8，
由题意可得：D（8，0），C（10，0），B（10，4），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∴
0=8k+b
4=10k+b
 解得：
k=2
b=-16

∴直线BD的解析式为：y=2x-16；

（2）∵AB=OC=10，OA=BC=4，OD=8，DC=2，
∴S△ADB=S矩形-S△OAD-S△BDC=4×10-
1
2
×4×8-
1
2
×2×4=20，
∵PE∥BD，
∴
S△AEP
S△ADB
=（
AP
AB
）2=（
t
10
）2=
t2
100
，
∴S△AEP=
t2
100
×20=
t2
5
，
同理S△BPF=
(10-t)2
100
×20=
(10-t)2
5
，
∴S=S△ADB-S△AEP-S△AEP=20-
t2
5
-
(10-t)2
5
=-
2
5
t2+4t；
即S=-
2
5
t2+4t；

（3）设P（t，4），
∴PD2=（8-t）2+42，
当PD=AP时，则t2=（8-t）2+42，解得：t=5，
∴P（5，4）；
当AP=AD时，则t=
OA2+OD2
=
42+82
=4
5
；
∴P（4
5
，4）
∴以A、P、D为顶点的三角形为等腰三角形时，P的坐标为（5，4）或（4
5
，4）．
点评：本题考查了解一元二次方程的做法，待定系数法求解析式，平行线的性质，用分割法求三角形面积以及等腰三角形的判定和性质等，（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方是本题的关键和难点．
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关于函数y=
1
3
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=
3a3
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先化简
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4
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已知
35
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．

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