Question

若抛物线：y=x²+bx+c与x轴只有一个公共点，且向右平移2个单位后得抛物线：y=x²，直线l过点A（a，0）（a＜0）．
（1）求b，c的值；
（2）设抛物线：y=x²+bx+c与y轴的交点为B，若抛物线：y=x²+bx+c上存在点C能和A，B构成以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求a的值；
（3）如图，直线l与抛物线：y=x²交于M，N两点，与y轴交于D两点，若OM⊥ON，求证：OD的长与a无关．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）抛物线y=x²+bx+c向右平移2个单位后得抛物线y=x²，即抛物线y=x²向左平移2个单位后得抛物线y=x²+bx+c，根据抛物线的解析式“左加右减”的平移规律可知，y=x²+bx+c即为y=（x+2）²=x²+4x+4，由此得出b=4，c=4；
（2）先由等腰直角三角形的性质可知，C点横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，于是可设C（-m，m），再将C点坐标代入y=x²+4x+4，列出关于m的方程，解方程求出m的值，得到C点、A点坐标，进而求出a的值；
（3）设直线l的解析式为y=kx+t，则D（0，t），OD=t，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．过M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为P、Q，由两角对应相等的两三角形相似得出△MOP∽△ONQ，根据相似三角形对应边成比例得到x₁•x₂=-1，而将y=kx+t代入y=x²，整理得x²-kx-t=0，根据一元二次方程根与系数的关系得出x₁•x₂=-t，于是t=1，即OD=1，从而证明OD的长与a无关．

解答：（1）解：∵抛物线y=x²+bx+c向右平移2个单位后得抛物线y=x²，
∴原抛物线为：y=（x+2）²=x²+4x+4，
∴b=4，c=4；

（2）解：∵抛物线：y=x²+4x+4上存在点C能和A，B构成以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴C的横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，设C（-m，m），
∴m=（-m）²+4（-m）+4，
解得：m=1（舍去），m=4，
∴C（-4，4），
∵抛物线的解析式为y=x²+4x+4，
∴B（0，4），
∴A（-4，0），
∴a=-4；

（3）证明：如图，设直线l的解析式为y=kx+t，则D（0，t），OD=t，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
过M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为P、Q，∠OPM=∠NQO=90°．
∵∠MON=90°，
∴∠MOP+∠NOQ=90°，
∵∠ONQ+∠NOQ=90°，
∴∠MOP=∠ONQ．
在△MOP与△ONQ中，

∠OPM=∠NQO ∠MOP=∠ONQ

，
∴△MOP∽△ONQ，
∴

MP

OQ

=

OP

NQ

，即

y1

x2

=

-x1

y2

，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∵y₁=x₁²，y₂=x₂²，
∴x₁•x₂+x₁²•x₂²=0，
∴x₁•x₂（1+x₁•x₂）=0，
∵x₁•x₂≠0，
∴1+x₁•x₂=0，
∴x₁•x₂=-1．
将y=kx+t代入y=x²，整理得x²-kx-t=0，
则x₁•x₂=-t，
∴-t=-1，
∴t=1，即OD=1，
∴OD的长与a无关．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线解析式的平移规律，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，综合性较强，难度适中．