Question

如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D．
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的关于AB、AC对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于点G；
（2）求证：四边形AEGF是正方形．

Answer 1

考点：作图-轴对称变换,正方形的判定

专题：作图题

分析：（1）过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，使AB垂直平分DE，AC垂直平分DF，然后连接AE、AF，连接EB并延长交FC的延长线于G，即可得解；
（2）根据轴对称的性质可得△ABD和△ABE全等，△ACD和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，然后求出∠EAF=90°，再根据轴对称的性质可得∠E=∠F=90°，从而得到四边形AEGF是矩形，再求出AE=AF，然后根据邻边相等的矩形是正方形证明．

解答：（1）解：如图所示；

（2）证明：由题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=2∠BAC=2×45°=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∴∠E=∠F=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF，
∴四边形AEGF是正方形．

点评：本题考查了利用轴对称变换作图，正方形的判定，主要利用了关于直线的对称点的作法，邻边相等的矩形是正方形，熟记轴对称的性质是解题的关键．