如图.在△AOB中.∠AOB为直角.OA=6.OB=8.半径为2的动圆圆心Q从点O出发.沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动.同时动点P从点A出发.沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动．设运动时间为t秒以P为圆心.PA长为半径的⊙P与AB.OA的另一个交点分别为C.D.连结CD.QC．(1)当t为何值时.点Q与点D重合?(2)当⊙Q经� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动．设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．
（1）当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．

分析（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；
（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长．

解答解：（1）∵OA=6，OB=8，
∴由勾股定理可得：AB=10，
由题意知：OQ=t=AP=t，AC=2t，
∵AC是⊙P的直径，
∴∠CDA=90°，
∴CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{OA}$，即$\frac{2t}{10}$=$\frac{AD}{6}$，
∴AD=$\frac{6}{5}$t，
∵D与Q重合，
∴$\frac{6}{5}$t+t=6，
解得t=$\frac{30}{11}$；

（2）如图，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，

当⊙Q经过A点时，OQ=OA-QA=4，
∴t=$\frac{4}{1}$=4s，
∴PA=4，
∴BP=AB-PA=6，
∵∠PEB=∠O=90°，
∴PE∥OA，
∴△PEB∽△AOB，
∴$\frac{PE}{OA}$=$\frac{BP}{AB}$，即$\frac{PE}{6}$=$\frac{6}{10}$，
∴PE=$\frac{18}{5}$，
∵PF=PA=4，
∴Rt△PEF中，由勾股定理可得EF=$\sqrt{F{P}^{2}-E{P}^{2}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{19}$，
由垂径定理可求知：FG=2EF=$\frac{4}{5}\sqrt{19}$，
故⊙P被OB截得的弦长为 $\frac{4}{5}\sqrt{19}$．