Question

4．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（　　）

• A． 18
• B． $\frac{109}{5}$
• C． $\frac{96}{5}$
• D． $\frac{25}{3}$

Answer 1

分析 先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，
∴MC=12-5=7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°．
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CG}$，即$\frac{12}{7}$=$\frac{5}{CG}$，解得CG=$\frac{35}{12}$，
∴DG=12-$\frac{35}{12}$=$\frac{109}{12}$．
∵AE∥BC，
∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴$\frac{MC}{DE}$=$\frac{CG}{DG}$，即$\frac{7}{DE}$=$\frac{\frac{35}{12}}{\frac{109}{12}}$，解得DE=$\frac{109}{5}$．
故选B．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．