Question

10．如图，AB是⊙O的直径，点C为AB上一点，作CD⊥AB交⊙O于D，连接AD，将△ACD沿AD翻折至△AC′D．
（1）请你判断C′D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点B作BB′⊥C′D′于B′，交⊙O于E，若CD=$\sqrt{21}$，AC=3，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ADO，根据折叠的性质得到∠C′DA=∠CDA，于是得到结论；
（2）连接AE，BD，由AB是⊙O的直径，得到AE⊥BE，AD⊥BD，推出四边形AEB′C′是矩形，得到AC′=B′E，AE=C′B′，根据折叠的性质得到AC′=AC=3，C′D=CD=$\sqrt{21}$，根据平行线等分线段定理得到AO=BO，得到AE=2$\sqrt{21}$，根据射影定理得到CB=7，由勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）C′D是⊙O的切线，
理由：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ADO，
∵将△ACD沿AD翻折至△AC′D，
∴∠C′DA=∠CDA，
∵CD⊥AB，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠C′DA=90°，
∴OD⊥C′D，
∴C′D是⊙O的切线；
（2）连接AE，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，AD⊥BD，
∵BB′⊥C′D′，
∴∠C′=∠B′=∠AEB′=90°，
∴四边形AEB′C′是矩形，
∴AC′=B′E，AE=C′B′，
∵将△ACD沿AD翻折至△AC′D，
∵AC′=AC=3，C′D=CD=$\sqrt{21}$，
∵AC′⊥C′B′，OD⊥C′B′，
∴AC′∥OD∥BB′，
∵AO=BO，
∴C′B′=2C′D=2$\sqrt{21}$，
∴AE=2$\sqrt{21}$，
∵DC⊥AB，
∴CD²=AC•CB，
∴CB=7，
∴AB=10，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=4．

点评 本题考查了切线的判定，平行线等分线段定理，勾股定理，矩形的判定和性质，射影定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．