Question

14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，且∠BAO=30°，现将△OAB沿直线AB翻折，得到△CAB．连接OC交AB于点D．
（1）求证：AD⊥OC，OD=$\frac{1}{2}$OA；
（2）若Rt△AOB的斜边AB=4$\sqrt{3}$，则OB=2$\sqrt{3}$；OA=6；点C的坐标为（$3\sqrt{3}$，3）；
（3）在（2）的条件下，动点F从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线O-A-C向终点C运动，设△FOB的面积为S（S＞0），点F的运动时间为t秒，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；
（4）在（3）的条件下，过点B作BE⊥x轴，交AC于点E，在动点F的运动过程中，当t为何值时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质和等边三角形的判定得到△OAC是等边三角形；结合等边三角形的“三线合一”的性质证得结论；
（2）如图1，过C点作CH⊥x轴于H点，在直角△OCH中，利用三角函数求得CH和OH，则C的坐标即可求得；
（3）分成当0＜t≤3和3＜t≤6两种情况，利用三角形的面积公式即可求解；
（4）分成B是顶角顶点和E是顶角顶点两种情况进行讨论．

解答 解：（1）由折叠得性质得：
CA=OA，CB=OB，∠BAC=∠BAO=30°，∠ACB=∠AOB=90°，
∴∠OAC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴OC=OA，
∵∠DAC=∠DAO，
∴AD⊥OC且OD=$\frac{1}{2}$OC；
∴AD⊥OC且OD=$\frac{1}{2}$OA；                               

（2）如图1，在直角△AOB中，∵∠BAO=30°，AB=4$\sqrt{3}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=6．
过C点作CH⊥x轴于H点．
由（1）知，△OAC是等边三角形
∴∠BCH=30°
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，OH=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵OC=OA=6，∠，COH=30°
∴CH=$\frac{1}{2}$×6=3．
∴C（3 $\sqrt{3}$，3）；
综上所述，OB=$2\sqrt{3}$； OA=6；  C（$3\sqrt{3}$，3）．
故答案是：2$\sqrt{3}$；6；（$3\sqrt{3}$，3）．
                      

（3）分两种情况讨论：
①当0＜t≤3时，如图2，OF=2t，$S=\frac{1}{2}×OB×OF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2t=2\sqrt{3}t$；  
②当3＜t≤6时，如图3，AF=2t-6，过点F作FG⊥OA于G，
则  $AG=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}（{2t-6}）=t-3$，OG=OA-AG=6-（t-3）=9-t，$S=\frac{1}{2}×OB×OG=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×（{9-t}）=9\sqrt{3}-\sqrt{3}t$；             
（0＜t≤3）（3＜t≤6）
综上所述：$S=\left\{{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}t}\\{9\sqrt{3}-\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（没写的不扣分）

（4）分两种情况讨论：
①当腰BE=BF时，如图4，
∵BE∥OA，
∴∠ABE=∠OAB=30°，
∴∠EBA=∠EAB=30°，
∴BE=AE 且∠EBC=60°-30°=30°，
∵在Rt△BOF和Rt△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{BO=BC}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△BCE，（HL）
∴OF=CE 且∠FBO=∠EBC=30°，
∴∠EBF=120°-30°-30°=60°，
∴此时△BEF为等边三角形．BF=AF，
在Rt△FBO 中，∵∠FBO=30°，
∴FO=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AF，
∴AF=2 FO．
∴AO=3FO．
∴3FO=6，
∴FO=2，
∴2t=2，
∴此时t=1．
②当腰BE=FE时，由上可知，点F使得△BEF为等边三角形 或 点F运动与A点重合，
则 2t=2，或者  2t=6，
∴此时 t=1或 t=3； 
综上所述，当t=1或3时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形．

点评 本题考查了几何变换综合题，其中涉及到了图形的折叠，以及等边三角形的判定与性质等知识点，正确对P的位置以及等腰△BEF进行讨论是关键．