题目内容

17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$与直线AC交于另一点B，点B坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{45}{8}$）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）点P是射线CB上的一个动点，过点P作直线PQ⊥x轴，垂足为点Q，交抛物线于点D，
①当PD=PC时，求点P的坐标．
②在x轴上点Q的右侧取点M，使MQ=$\frac{3}{2}$，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，已知tan∠NAQ-tan∠MPQ=$\frac{3}{4}$，求线段PN的长．

分析 （1）先利用y=kx+3确定C点坐标，然后把C点和B点坐标代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）①先把B点坐标代入y=kx+3求出k得到直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，如图1，利用一次函数图象和二次函数图象上点的坐标特征可设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），则D（t，$\frac{1}{2}$t2-t+3），再用t分别表示出PD和PC，则利用PD=PC可得到关于t的方程，然后得到关于t的两个一元二次方程，再解方程求出满足条件的t的值，从而得到P点坐标；
②如图2，先利用直线AB的解析式确定A点坐标，设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），Q（t，0），则可用t表示PQ和AQ，再利用三角函数的定义得关于t的方程，然后解方程可求出PN的长．

解答 解：（1）当x=0时，y=kx+3=3，则C（0，3），
把C（0，3），B（$\frac{7}{2}$，$\frac{45}{8}$）代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{\frac{1}{2}×\frac{49}{4}+\frac{7}{2}b+c=\frac{45}{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-x+3；
（2）①把B（$\frac{7}{2}$，$\frac{45}{8}$）代入y=kx+3得$\frac{7}{2}$k+3=$\frac{45}{8}$，解得k=$\frac{3}{4}$，
所以直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
如图1，设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），则D（t，$\frac{1}{2}$t2-t+3），
所以PD=|$\frac{1}{2}$t2-t+3-（$\frac{3}{4}$t+3）|=|$\frac{1}{2}$t2-$\frac{7}{4}$t|，
而PC=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{3}{4}t+3-3）^{2}}$=$\frac{5}{4}$t，
因为PD=PC，
所以|$\frac{1}{2}$t2-$\frac{7}{4}$t|=$\frac{5}{4}$t，
当$\frac{1}{2}$t2-$\frac{7}{4}$t=$\frac{5}{4}$t时，解得t1=0（舍去），t2=6，此时P点坐标为（6，$\frac{15}{2}$）；
当$\frac{1}{2}$t2-$\frac{7}{4}$t=-$\frac{5}{4}$t时，解得t1=0（舍去），t2=1，此时P点坐标为（1，$\frac{15}{4}$）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（6，$\frac{15}{2}$）或（1，$\frac{15}{4}$）；
②如图2，当y=0时，$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-4，则A（-4，0），
设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），Q（t，0），则PQ=$\frac{3}{4}$t+3，AQ=t+4，
在Rt△NAQ中，tan∠NAQ=$\frac{NQ}{AQ}$=$\frac{NP+\frac{3}{4}t+3}{t+4}$，
在Rt△NMQ中，tan∠MPQ=$\frac{QM}{PQ}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}t+3}$，
而tan∠NAQ-tan∠MPQ=$\frac{3}{4}$，
所以$\frac{NP+\frac{3}{4}t+3}{t+4}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}t+3}$，
所以PN=2．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会解一元二次方程．

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