Question

6．如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A（2，1），
（1）求出二次函数的表达式；
（2）我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．
（3）过y轴的正半轴上一点C（0，a）作AO的平行线交抛物线于点B，
①求出直线BC的函数表达式（用a表示）；
②如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．

Answer 1

分析 （1）可设抛物线的解析式为y=ax²，然后只需把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（2）由抛物线的解析式可知，要使y是整数，只需x是偶数，故x可用2n表示（n为整数），由此就可解决问题；
（3）①可运用待定系数法求出直线OA的解析式，然后根据两直线平行一次项的系数相同，就可得到直线BC的函数表达式；②由于点B是整点，点B的坐标可表示为（2n，n²），代入直线BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根据平行等积法可得S_△OAB=S_△OAC=n（n-1），由于n与n-1是相邻整数，必然一奇一偶，因而n（n-1）是偶数，问题得以解决．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²，
把A（2，1）代入y=ax²，得
1=4a，
解得a=$\frac{1}{4}$，
∴二次函数的表达式为y=$\frac{1}{4}$x²；

（2）抛物线上整点坐标可表示为（2n，n²），其中n为整数；

（3）①设直线OA的解析式为y=kx，
把点A（2，1）代入y=kx，得
1=2k，
解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
则过点C（0，a）与直线OA平行的直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+a；
②证明：∵点B是整点，
∴点B的坐标可表示为（2n，n²），其中n为整数，
把B（2n，n²）代入y=$\frac{1}{2}$x+a，得
n²=n+a，
∴a=n²-n=n（n-1）．
∵BC∥OA，
∴S_△OAB=S_△OAC=$\frac{1}{2}$×a×2=a=n（n-1）．
∵n为整数，∴n与n-1一奇一偶，
∴n（n-1）是偶数，
∴△OAB的面积是偶数．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求直线与抛物线的解析式、两直线平行问题、直线上点的坐标特征、平行等积法、奇数与偶数等知识，运用平行等积法是解决第（3）②小题的关键．