Question

12．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知$AE=\sqrt{2}c$，这时我们把关于x的形如$a{x^2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若x=-1是“勾系一元二次方程”$a{x^2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根，且四边形ACDE的周长是$6\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．

解答 解：当x=-1时，有a-$\sqrt{2}$c+b=0，即a+b=$\sqrt{2}$c
∵2a+2b+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，即2（a+b）+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，
∴3$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，
∴c=2，
∴a²+b²=c²=4，a+b=2$\sqrt{2}$，
∵（a+b）²=a²+b²+2ab，
∴ab=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=1．

点评 此类考查了勾股定理的证明，读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题是解答此题的关键．