Question

6．（1）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．求证：BF=DF；
（2）如图，在?ABCD中，AD=4，AB=8，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，求阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF，
（2）过D点作DF⊥AB于点F．可求?ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积=?ABCD的面积-扇形ADE的面积-△BCE的面积，计算即可求解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，
∴BE=AB-AE，DG=AD-AG，
∴BE=DG，
在△BEF和△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠BEF=∠DGF}\\{EF=GF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DGF（SAS），
∴BF=DF；

（2）解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=4，AB=8，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=2，EB=AB-AE=4，
∴阴影部分的面积：8×2-$\frac{30•π{×4}^{2}}{360}$-4×$2×\frac{1}{2}$=12-$\frac{4}{3}$π．

点评 本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积=?ABCD的面积-扇形ADE的面积-△BCE的面积．