Question

15．如图，⊙O与射线AM相切于点B，⊙O的半径为3．连结DA，作OC⊥OA 交⊙O于点C，连结BC，交DA于点D．
（1）求证：AB=AD；
（2）若cos∠A=$\frac{4}{5}$，求OD的长；
（3）是否存在△AOB与△COD全等的情形？若存在，求AB的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据OA⊥OC得到∠C+∠ODC=90°，然后根据AM是⊙O的切线得到∠CBO+∠ABD=90°，进一步得到∠ABD=∠ADB，利用等角对等边得到AB=AD；
（2）首先根据cos∠A=$\frac{4}{5}$得到tan∠A=$\frac{3}{4}$，然后在Rt△AOB中，OB=3得到OA=5，AB=4，从而求得OD的长；
（3）假设△AOB与△DCO全等，根据CD不可能与OB平行，得到∠CDO不可能与∠AOB对应相等，得到∠A=60°后根据OB=3，求得AB=$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：∵OA⊥OC，
∴∠C+∠ODC=90°，
∵AM是⊙O的切线，
∴OB⊥AM，
即∠CBO+∠ABD=90°，
∵OC=OB，
∴∠C=∠OBC，
∴∠ABD=∠ADB，
即AB=AD；

（2）解：∵cos∠A=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠A=$\frac{3}{4}$，
在Rt△AOB中，OB=3，
∴OA=5，AB=4，
∴OD=OA-AD=OA-AB=1；

（3）解：假设△AOB与△DCO全等，
∵CD不可能与OB平行，
∴∠CDO不可能与∠AOB对应相等，
∴∠CDO=∠A，
∵∠ABD=∠ADB=∠CDO，
∴∠A=60°，
∵OB=3，
∴AB=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的综合知识及锐角三角函数、存在性问题，对于存在性问题，常常首先假设存在，然后从存在出发，如果能够得到结论就存在，否则就不存在，综合性较强，难度较大．