Question

12．梯形ABCD中，E为BC上一点，且AE=DE；F为AD上一点，且∠AFB=∠DFC．求证：FMEN为平行四边形．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到∠DAE=∠ADE，根据梯形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到角的关系，然后根据平行四边形的判定定理即可得到结论．

解答 证明：∵AE=DE，∠AFB=∠DFN，
∴∠DAE=∠ADE，
∵AB∥CD，∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠AED=∠BAM+∠NDC，
∵∠FBC+∠BFC+∠BCF=180°，
∵∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠BFC=∠ABF+DCF，
∵∠AFB=∠DFC，
∴∠FAB+∠ABF=∠FCD+FDC，
∴∠MAB+∠MBA=∠NCD+∠NDC，
∴∠AMB=∠CND，
∴∠FME=∠ENF，
∵∠BFC=∠ABM+∠DCN，∠AED=∠ABM+∠NDC，∠AMB=∠CND，
∴∠ABM+∠DCN=∠BAM+∠NDC，
∴∠BFC=∠AED，
∴四边形FMEN为平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定定理．等腰三角形的性质，相似三角形的性质，证得△AFM∽△ADE∽△FND是解题的关键．