Question

1．如图，有A，B，C三个港口，都位于南北方向的海岸线上，P、Q是两个度银小岛，某游船从小岛P出发，向西航行到达港口A，再从港口A向北航行，到达港口B，在港口B看到小岛P在南偏东60°处，游船由港口B出发40分钟后到达港口C，看到小岛P在南偏东30°处，这时游船的航向改为北偏东60°继续航行80分钟到达小岛Q．从港口A到小岛Q，该游船航行的速度都有30海里/小时．
（1）求港口C与小岛P之间的距离；
（2）求P，Q两个小岛之间的距离．（$\sqrt{7}$≈2.646，结果精确到十分位）．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定BC、∠ABP、∠ACP，根据三角形的外角的性质求出∠BPC，根据等腰三角形的性质和正弦的定义计算即可；
（2）根据题意得到∠PCQ=90°，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）由题意得，BC=30×$\frac{2}{3}$=20海里，∠ABP=60°，∠ACP=30°，
∴∠BPC=30°，
∴BP=BC=20海里，
∴AP=BP•sin∠ABP=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$，
∵∠ACP=30°，
∴PC=2AP=20$\sqrt{3}$海里，
答：港口C与小岛P之间的距离为20$\sqrt{3}$海里；
（2）∵在港口C看到小岛P在南偏东30°处，游船的航向改为北偏东60°，
∴∠PCQ=90°，又CQ=30×$\frac{4}{3}$=40海里，
由勾股定理得，PQ=$\sqrt{C{P}^{2}+C{Q}^{2}}$=20$\sqrt{7}$≈52.9海里，
答：P，Q两个小岛之间的距离约为52.9海里．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．