Question

1．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点、连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接AF、FG，H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若∠BEC=90°，连接EH、CH，EH、BC交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）只要证明AD∥FH，AD=FH即可．
（2）等腰三角形有△BOE，△EOC，△EFH，△EHG，△OHC，先证明BO=OC，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，∵EB=BF，EC=CG，
∴BC∥FG，BC=$\frac{1}{2}$FG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵FH=GH，
∴AD=BC=FH，AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．
（2）解：如图2中，等腰三角形有△BOE，△EOC，△EFH，△EHG，△OHC．
理由：∵BC∥FG，
∴$\frac{BO}{FH}$=$\frac{EO}{EH}$=$\frac{OC}{GH}$，
∵FH=HG，
∴BO=OC，
∵∠FEC=90°，
∴EO=BO=OC，EH=FH=GH，
∴△BOE，△EOC，△EFH，△EHG是等腰三角形，
∵CE=CG，GH=FH，
∴CH∥EB，
∴∠OEB=∠OHC，∠OBE=∠OCH，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OHC=∠OCH，
∴OC=OH，
∴△OCH是等腰三角形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是平行线分线段成比例定理的正确应用，属于中考常考题型．