Question

10．先观察、验证，再解答后面的问题：
1=$\frac{1}{2}$（1×2-0×1），2=$\frac{1}{2}$（2×3-1×2），3=$\frac{1}{2}$（3×4-2×3），…，n=$\frac{1}{2}$[n（n+1）-（n-1）n]．
把上面的n个等式左右两边分别相加，得1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），其中n为正整数．
这样的方法叫叠加法．类比这种方法，
有：1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），
将这三个等式左右两边分别相加，得：1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20．
解答下列问题：
（1）填空：
①1×2+2×3+…+10×11=440；
②1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$；
（2）计算：1×3+3×5+5×7+…+（2n-1）（2n+1），其中n为正整数，结果用n的多项式表示；
（3）证明：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），其中n为正整数．

Answer 1

分析 分别根据规律相加计算即可．

解答 解：（1）①1×2+2×3+…+10×11=$\frac{1}{3}$×10×11×12=110×4=440；
②∵1×2+2×3=$\frac{1}{3}$×2×3×4=8，
1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，
1×2+2×3+3×4+4×5=$\frac{1}{3}$×4×5×6=40，
…
∴1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2），
故答案为：①440；②$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（2）∵1×3=（2×1-1）（2×1+1）=4×1²-1，
3×5=（2×2-1）（2×2+1）=4×2²-1，
5×7=（2×3-1）（2×3+1）=4×3²-1，
…
1×3+3×5+5×7+…+（2n-1）（2n+1），
=4×1²-1+4×2²-1+4×3²-1+…+4×n²-1，
=4×（1²+2²+3²+…+n²）-n，
=4×$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）-n，
=$\frac{2}{3}$n（n+1）（2n+1）-n；
（3）∵（n+1）³-n³=3n²+3n+1，
∴当n=1时，2³-1³=3×1²+3×1+1，
当n=2时，3³-2³=3×2²+3×2+1，
当n=3时，4³-3³=3×3²+3×3+1，
…
当n=n时，（n+1）³-n³=3n²+3n+1，
把以下的n个等式相加得：（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，
所以，3（1²+2²+3²+…+n²）=（n+1）³-（n+1）-3×$\frac{n（n+1）}{2}$，
即：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）．

点评 本题是数字类的规律题，此类题要认真观察已知所给的式子，依次的规律和计算的方法，先观察、验证，再解答．