Question

2．在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
（1）指出图中的相似三角形？并说明理由；
（2）若分别延长ED、BC交于点F，求证：CD×AD=DE×DF；
（3）若连结EC、AF，求证：△CDE～△FDA；
（4）若∠B=60°，AF=6，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）利用∠AED=∠C和∠DAE=∠BAC可判定△ADE∽△ABC；
（2）先证明△ADE∽△FDC得到AD：DF=DE：CD，然后利用比例的性质可得到结论；
（3）证明：如图，利用比例性质由CD×AD=DE×DF得到CD：DF=DE：AD，加上∠CDE=∠FDA，则可判定△CDE～△FDA；
（4）先证明△BAC∽△BFE得到BA：BF=BC：BE，则利用比例性质得BA：BC=BF：BE，再加上∠EBC=∠FBA，也是可判定△BEC∽△BFA，所以$\frac{CE}{AF}$=$\frac{BC}{BA}$，接着在△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=$\frac{1}{2}$AB，然后利用AF=6可计算出CE的长．

解答 （1）解：△ADE∽△ABC．理由如下：
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠C，
而∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）证明：如图，
∵∠AED=∠DCF，∠ADE=∠FDC，
∴△ADE∽△FDC，
∴AD：DF=DE：CD，
∴CD×AD=DE×DF；
（3）证明：如图，
∵CD×AD=DE×DF，
∴CD：DF=DE：AD，
而∠CDE=∠FDA，
∴△CDE～△FDA；
（4）解：∵∠ACB=∠∠FEB，∠ABC=∠FBE，
∴△BAC∽△BFE，
∴BA：BF=BC：BE，
∴BA：BC=BF：BE，
而∠EBC=∠FBA，
∴△BEC∽△BFA，
∴$\frac{CE}{AF}$=$\frac{BC}{BA}$，
在△ABC中，∵∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{CE}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
而AF=6，
∴CE=3．

点评 本题考查了相似形的综合题：熟练掌握相似三角形的三个判定定理和相似三角形的性质；在判定三角形相似时充分利用公共角和对顶角；灵活应用比例的性质．