Question

9．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，连结OC并延长至点P，使CP=OC，过点P作⊙O的切线，D是切点．
（Ⅰ）求证：PD∥BC；
（Ⅱ）当BC=3时，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD．由切线的性质可知PD⊥OD，然后依据直角三角形斜边上中线的性质和圆的性质证明△CDO为等边三角形，接下来，在求得∠CEO=90°，最后依据平行线的判定定理证明即可
（2）记BC与OD的交点为E．先求得CE的长，然后由CB∥PD可知△OCE∽△OPD，接下来，依据相似三角形的性质可求得PD的长．

解答 解：（1）如图1所示：连接CD．

∵PD是圆O的切线，D为切线，
∴OD⊥PD．
∵在Rt△PDO中，C为PO的中点，
∴CD=OC．
∵CO=OD，
∴CD=OC=DO，
∴∠COD=60°．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30°．
∴∠OEC=180°-30°-60°=90°．
∴∠OEC=∠ODP=90°．
∴BC∥PD．
（2）如图2所示：记BC与OD的交点为E．

∵OC=OB，OD⊥BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$．
∵C是OP的中点，
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{2}$．
∵BC∥PD，
∴△OCE∽△OPD．
∴$\frac{CE}{PD}=\frac{OC}{OP}$，即$\frac{\frac{3}{2}}{PD}=\frac{1}{2}$．
解得：PD=3．
所以PD的长为3．

点评 本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定、直角三角形斜边上中线的性质，证得△CDO为等边三角形是解题的关键．