Question

11．如图，已知四边形ABCD菱形，点E、F、G、H分别在菱形的四条边上，且AE=CG，AH=CF．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若点E、F、G、H分别是菱形ABCD四条边的中点，连接EG、FH相交于点O，请写出图中除菱形ABCD外的所有菱形．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出∠A=∠C，∠B=∠D，AD=CD=BC=AB，求出BE=DG，BF=DH，根据SAS推出△AEH≌△CGF，根据全等得出EH=FG，同理EF=HG，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）根据菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，根据直角三角形的斜边上中线性质得出OE=$\frac{1}{2}$AB=AE=BE，OH=$\frac{1}{2}$AD=AH=DH，OG=$\frac{1}{2}$DC=DG=CG，OF=$\frac{1}{2}$BC=CF=BF，求出OE=BE=BF=OF，OF=FC=CG=OG，OG=GD=DH=OH，OE=AE=AH=OH，根据菱形的判定得出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AD=CD=BC=AB，
∵AE=CG，AH=CF，
∴BE=DG，BF=DH，
在△AEH和△CGF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠A=∠C}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=FG，
同理EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）解：如图2，连接AC和BD，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∵点E、F、G、H分别是菱形ABCD四条边的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=AE=BE，OH=$\frac{1}{2}$AD=AH=DH，OG=$\frac{1}{2}$CD=DG=CG，OF=$\frac{1}{2}$BC=CF=BF，
∴OE=BE=BF=OF，OF=FC=CG=OG，OG=GD=DH=OH，OE=AE=AH=OH，
∴四边形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE都是菱形，
即除菱形ABCD外的所有菱形有四边形OEBF、四边形OFCG、四边形OGDH、四边形OHAE．

点评 本题考查了三角形的中位线，菱形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．