如图1.P为∠MON平分线OC上一点.以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A.B两点.如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2.我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．(1)如图2.P为∠MON平分线OC上一点.过P作PB⊥ON于B.AP⊥OC于P.那么∠APB是∠MON的关联角．(2)①如图3.如果∠MON=60°.OP=2.∠APB是∠MON的关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．
（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB是∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．
（2）①如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；
②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．
（3）如图4，点C是函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标．

分析（1）先判断出△OBP∽△OPA，即可；
（2）先根据关联角求出OA×OB=4，再利用三角形的面积公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；
（3）根据条件分情况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，经过计算，不存在，②在正半轴时，由BC=2AC判断出点C是线段AB的一个三等分点，即可．

解答解：（1）∵P为∠MON平分线OC上一点，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，
∴∠OBP=∠OPA，
∴△OBP∽△OPA，
∴$\frac{OB}{OP}=\frac{OP}{OA}$，
∴OP²=OA×OB，
∴∠APB是∠MON的关联角．
故答案为是．
（2）①如图，过点A作AH⊥OB，
∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，
∴OA×OB=OP²=4，
在Rt△AOH中，∠AOH=90°，
∴sin∠AOH=$\frac{AH}{OA}$，
∴AH=OAsin∠AOH，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB×AH=$\frac{1}{2}$OB×OA×sin60°=$\frac{1}{2}$×OP²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵OP²=OA×OB，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=30°，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP=∠OPB，
∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-30°=150°，
②由①有，S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB×OA×∠MON=$\frac{1}{2}$m²×sinα；
（3）∵过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，
∴只有点A在x轴正半轴，
①当点B在y轴负半轴时，点A只能在x轴正半轴．即：点P只能在第四象限，
设A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＜0）
∴OA=m，OB=-n，
∵BC=2CA，
∴点A是BC中点，
∴点C（2m，-n），
∵点C在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴2m×（-n）=2，
∴mn=-1，
∵∠AOB的关联角∠APB
∴OP²=OA×OB=|m|•|n|=1，
∴OP=1，
∵点P在∠AOB的平分线上，设P（a，-a）（a＞0），
∴OP²=2a²，
∴2a²=1，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍），
∴点P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
②当点B在y轴正半轴，由于BC=2CA，所以，点A只能在x轴正半轴上，
设A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）
∴点C（$\frac{2m}{3}$，$\frac{n}{3}$），
∴$\frac{2m}{3}×\frac{n}{3}$=2，
∴mn=9，
∵∠AOB的关联角∠APB
∴OP²=OA×0B=mn=9，
∴OP=3，
∵点P在∠AOB的平分线上，即：点P在第一象限，设P（a，a），（a＞0）
∴OP²=2a²，
∴2a²=9，
∴a=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或a=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（舍）
即：点P（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
综上所述，（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．