Question

20．如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，∠ABC，∠CDE是直角，连接BD，点F在AE上且∠FBD=45°，AB=2，CD=1．
（1）求证：AF=FE；
（2）若将等腰直角CDE绕点C旋转一个a（0°＜a≤90°）角，其它条件不变，如图2，求$\frac{AF}{FE}$的值；
（3）在（2）的条件下，再将等腰直角△CDE沿直线BC右移k个单位，其它条件不变，如图3，试求$\frac{AF}{FE}$的值（用含k的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由辅助线得到BD=GD，再判断出△ABF≌△EGF，△ABF≌△EGF即可；
（2）由辅助线得到BD=GD，再判断出△ABF≌△EGF，△ABF≌△EGF即可；
（3）由辅助线得到BD=GD，再判断出△BC₁D≌△GED，从而得出△ABF∽△EGF即可．

解答 解：（1）证明：过D作DG垂直于BD交BF的延长线于G，连结EG
∵∠FBD=45°，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BD=GD，
∵∠BDC=90°-∠BDE=∠GDE，CD=ED，
∴△BCD≌△GED，
∴BC=GE，∠DBC=∠DGE，
∴AB=BC=EG，∠ABF=45°-∠DBC=45°-∠DGE=∠EGF，
∴△ABF≌△EGF，
∴AF=EF，
即AF=FE．
（2）$\frac{AF}{EF}$=1．
如图2

过D作DG垂直于BD交BF的延长线于G，连结EG，
∵∠FBD=45°，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BD=GD，
又∵∠BDC=90°-∠BDE=∠GDE，CD=ED，
∴△BCD≌△GED，
∴BC=GE，∠DBC=∠DGE，
∴AB=BC=EG，∠ABF=45°-∠DBC=45°-∠DGE=∠EGF，
∴△ABF≌△EGF，
∴AF=EF，
即AF=FE．
∴$\frac{AF}{EF}$=1．
（3）$\frac{AF}{EF}=\frac{2}{k+2}$．
如图3，

过D作DG垂直于BD交BF的延长线于G，连结EG
∵∠FBD=45°，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BD=GD，
∵∠BDC=90°-∠BDE=∠GDE，C₁D=ED，
∴△BC₁D≌△GED，
∵BC₁=GE，∠ABF=45°-∠DBC=45°-∠DGE=∠EGF，
∴△ABF∽△EGF，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EG}$，
∵AB=2，BC₁=k+2，
$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EG}$=$\frac{2}{k+2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的全等的判定和性质，相似三角形的性质和判定，作出辅助线，判断出三角形相似是解本题的关键．