Question

14．关于x的方程：x+$\frac{1}{x}$=c+$\frac{1}{c}$的解为x=c，x=$\frac{-1}{c}$；
x+$\frac{1}{x}$=c+$\frac{1}{c}$的解为x=c或x=$\frac{1}{c}$；
x+$\frac{2}{x}$=c+$\frac{2}{c}$的解为x=c，x=$\frac{2}{c}$；
x+$\frac{3}{x}$=c+$\frac{3}{c}$的解为x=c，x=$\frac{3}{c}$；
…
根据材料解决下列问题：
（1）方程x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$的解是x=2，x=$\frac{1}{2}$；
（2）猜想方程x+$\frac{m}{c}$=c+$\frac{m}{c}$（m≠0）的解，并将所得的解代入方程中检验；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．
请用这个结论解关于x的方程：x+$\frac{2}{x-1}$=a+$\frac{2}{a-1}$．

Answer 1

分析 （1）由x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$可得x+$\frac{1}{x}$=2+$\frac{1}{2}$，根据题意可得；
（2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可；
（3）先将原方程转化为：x-1+$\frac{2}{x-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$的形式，然后得到：x-1=a-1和x-1=$\frac{2}{a-1}$，然后解得即可．

解答 解：（1）由x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$可得x+$\frac{1}{x}$=2+$\frac{1}{2}$，
∴该方程的解为：x=2或x=$\frac{1}{2}$；

（2）方程x+$\frac{m}{x}$=c+$\frac{m}{c}$（m≠0）的解为：x=c或x=$\frac{m}{c}$，
检验：当x=c时，左边=c+$\frac{m}{c}$=右边，故x=c是方程的解，
当x=$\frac{m}{c}$时，左边=$\frac{m}{c}$+$\frac{m}{\frac{m}{c}}$=$\frac{m}{c}+c$=右边，故x=$\frac{m}{c}$也是方程的解；

（3）原方程x+$\frac{2}{x-1}$=a+$\frac{2}{a-1}$可化为：
x-1+$\frac{2}{x-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$
所以x-1=a-1或x-1=$\frac{2}{a-1}$，
解得：x=a或x=$\frac{a+1}{a-1}$，
经检验，x=a或x=$\frac{a+1}{a-1}$是原方程的解，
故答案为：（1）x=2或x=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了分式方程的解，解题的关键是：将方程转化为：x+$\frac{1}{x}$=c+$\frac{1}{c}$的形式．