Question

直线l垂直x轴于点A（4，0），点P是l上的一个动点，经过点P的抛物线y=x²+bx+c与x轴交于原点O和点B，抛物线的对称轴交OP于点C，交x轴于点D，连接PD、PB、BC，设点P的纵坐标为m．
（1）求当点P与点A重合时抛物线的解析式；
（2）若△PAD的面积是△PAB的2倍，求点B的坐标；
（3）是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将已知点A和原点的坐标代入二次函数的解析式利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2））根据△PAD的积是△PAB的2倍，根据当点P在x轴的上方时和当点P在x轴的下方时两种情况分类讨论即可确定点B的坐标；
（3）分当点P在x轴的上方时和当点P在x轴的下方时两种情况利用△PAB∽△PAP得到比例式，从而求得点P的坐标．

解答：解：（1）由已知P（4，0），O（0，0），
∴

16+4b+c=0 c=0

，
∴

b=4 c=0

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x；

（2）∵△PAD的积是△PAB的2倍，
∴AD=2AB，
当点P在x轴的上方时，如图1，
∵AD=2AB，
∴AB=DB，
∵DB=DO，
∴OD=OB=AB=

4

3

，
∴B（

8

3

，0）；
当点P在x轴的下方时，如图2，
设AB=k，则AD=2k，
∴OD=DB=3k，由OA=4得3k+2k=4，
∴k=

4

5

，
∴B（

24

5

，0），
∴所求点B的坐标为（

24

5

，0）或（

8

3

，0）；

（3）存在点P，使得△PBC为直角三角形，
当点P在x轴的上方时，如图1，
若∠PCA=90°，
∵CO=CB，
∴∠POA=45°，
∴PA=OA=4，
∴P（4，4）；
若∠PCA=90°，则有∠APB=∠CBD=∠COD，
又∵∠PAB=∠OAP，
∴△PAB∽△OAP，
∴

AB

AP

=

AP

OA

，
∵y=x²+bx+c过（0，0）和（4，m），
∴抛物线的解析式为y=x²+（

m

4

-4）x，
∴B（4-

m

4

，0），
∴AB=

m

4

，
∴

m 4

m

=

m

4

，
解得：m=1，
∴P（4，1），
当点P在x轴的下方时，如图2，
若∠PCB=90°，
∵CO=CB，
∴∠POB=45°，
∴PA=OA=4，
∴P（4，-4），
若∠CPB=90°，则可证△PAB∽△PAP，
∴

AB

AP

=

AP

OA

，
由上题得B（4-

m

4

，0），
∴AB=-

m

4

，
∴

- m 4

-m

=

-m

4

，
解得：m=-1，
综上，所求点P的坐标为（4，4）、（4，1）、（4，-4）、（4，-1）．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是题目中用到的分类讨论数学思想更是中考的热点考题之一，另外存在性问题也是中考的另一个重要考点，有一定的难度．