Question

如图，平行四边形ABCD中，AB+BC=20，sinA=

4

5

，P是AB边上一点，设DC=x，△PCD的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求△PCD的面积的最大值；
（2）若以DC为直径的圆过P、B两点，求AP的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,二次函数的最值,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）首先作DH⊥AB于H，在平行四边形ABCD中，AB=DC=x，AD=BC=20-x，由AB+BC=20，sinA=

4

5

，可得y与x的函数关系式为：y=

1

2

×

4

5

（20-x）x，继而求得答案；
（2）首先连接BD，由sin∠BCD=sinA=

4

5

，可得BC=

3

5

CD，继而求得x的值，然后由以DC为直径的圆过P、B两点，证得∠APD=∠A，又由DH⊥AB，可求得AP=2AH=2×

3

5

×（20-

25

2

）=9．

解答：解：（1）作DH⊥AB于H，
在平行四边形ABCD中，AB=DC=x，AD=BC=20-x，
在Rt△ADH中，DH=AD×sinA=

4

5

（20-x），
y与x的函数关系式为：y=

1

2

×

4

5

（20-x）x，
即：y=-

2

5

x²+8x，
∵y=-

2

5

x²+8x=-

2

5

（x-10）²+40，
∴当x=10时，y的最大值为40
∴△PCD的面积的最大值为40；

（2）连接BD，由题意得：∠DBC=90°
∵sin∠BCD=sinA=

4

5

，
∴cosA=

3

5

，
∴BC=

3

5

CD，
∴20-x=

3

5

x，
∴x=

25

2

，
∵D、C、B、P在同一个圆上，
∴∠BCD+∠BPD=180°，
∵∠APD+∠BPD=180°，
∴∠APD=∠BCD，
∴∠APD=∠A，
∵DH⊥AB，
∴AP=2AH=2×

3

5

×（20-

25

2

）=9．

点评：此题考查了平行四边形的性质、二次函数的最值、三角函数以及圆的内接四边形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．