Question

如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=

4

x

的图象相交于C，B两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，有下列四个结论
①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD，其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：①根据函数解析式，可得图象上的点的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
②根据等第三角形的高相等，可得EF∥CD，根据相似三角形的判定，可得答案；
③根据联立函数解析式，可得方程，根据解方程，可得C、D点的坐标，可得CE与DF的关系，根据自变量与函数值的关系，可得A、B点的坐标，可得∠ABO=∠BAO=45°，根据平行线的性质，可得∠DCE=∠FDA=45°，根据SAS，可得答案；
④根据平行四边的判定与性质，可得BD=EF，AC=BD，可得答案．

解答：解：①设D（x，

4

x

），则F（x，0），
由图象可知x＞0，
∴△DEF的面积是：

1

2

×|

4

x

|×|x|=2，
设C（a，

4

a

），则E（0，

4

a

），
由图象可知：

4

a

＜0，a＞0，
△CEF的面积是：

1

2

×|a|×|

4

a

|=2，
∴△CEF的面积=△DEF的面积，
故①正确；
②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
故EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正确；
③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=

4

x

的图象的交点，
∴x+3=

4

x

，
解得：x=-4或x=1，
经检验：x=-4或1都是原分式方程的解，
∴D（1，4），C（-4，-1），
∴DF=4，CE=4，
∵一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A（-3，0），B（0，3），
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，
∴∠DCE=∠FDA=45°，
在△DCE和△CDF中

DF=CE ∠FDC=∠ECD DC=CD

，
∴△DCE≌△CDF（SAS），
故③正确；
④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正确；
正确的有4个．
故选：C．

点评：本题考查了反比例函数综合题，①利用了自变量与函数值的关系，三角形的面积公式，②利用了等底等高的三角形的面积相等，相似三角形的判定，③利用了函数与方程的关系，平行线的判定，全等三角形的判定，④利用了平行四边形的判定与性质．