Question

己知等边△ABC，边长为4，点D从点A出发，沿AB运动到点B，到点B停止运动．点E从A出发，沿AC的方向在直线AC上运动．点D的速度为每秒1个单位，点E的速度为每秒2个单位，它们同时出发，同时停止．以点E为圆心，DE长为半径作圆．设E点的运动时间为t秒，
（1）如图1，判断⊙E与AB的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当⊙E与BC切于点F时，求t的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：

分析：（1）首先过点D作DM⊥AC于点M，由△ABC为等边三角形，可得∠A=60°，可得AM=

1

2

t，DM=

3

2

t，继而求得AE与ME的长，则可得在△ADE中，AD²=t²，AE²=4t²，DE²=3t²，证得AD²+DE²=AE²，继而证得AB与⊙D相切；
（2）首先连接BE、EF，由切线长定理可得BE平分∠ABC，然后由等腰三角形的性质，求得AE的长，继而求得答案；

解答：解：（1）AB与⊙E相切．
理由如下：过点D作DM⊥AC于点M，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
在Rt△ADM中，
∵AD=t，∠A=60°，
∴AM=

1

2

t，DM=

3

2

t，
∵AE=2t，
∴ME=

3

2

t，
在Rt△DME中，DE²=DM²+EM²=3t²，
在△ADE中，∵AD²=t²，AE²=4t²，DE²=3t²，
∴AD²+DE²=AE²，
∴∠ADE=90°，
∴AB与⊙E相切；           

（2）连接BE、EF，
∵BD、BF与⊙O相切，
∴BE平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AE=CE，
∵AC=4，
∴AE=2，
∴t=1；

点评：此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及逆定理、圆与圆的位置关系以及切线长定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．