Question

3．已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线上（不与点B重合），FM⊥AD，交边AD于点M，交BC于点H．
（1）如图1，当E在CB的延长线上时，求证：AB=EB+AM；
（2）如图2，当E在BC的延长线上时，若BE=$\sqrt{3}$，△AFM=15°，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质得AE=EF，∠ABE=∠EHF=90°，由AAS证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得结论；
（2）同（1）先证明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性质定理可得BE=BH+EH=AM+AB；求出∠EFH=30°，由△ABE≌△EHF，根据全等三角形的性质易得∠AEB，利用锐角三角函数易得AB，即可得出AM的长．

解答 （1）证明：∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
在△ABE与△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}&{\;}\\{∠EAB=∠FEH}&{\;}\\{AE=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH=EB+BH=EB+AM；
（2）解：∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE与△EHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}&{\;}\\{∠EAB=∠FEH}&{\;}\\{AE=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，
∴BE=BH+EH=AM+AB；
∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，
∴∠EFH=45°-15°=30°，
∴∠AEB=30°，
∵BE=$\sqrt{3}$，
∴AB=BE•tan30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∵BE=AM+AB，
∴AM=BE-AB=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质及判定定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．