Question

15．如图，BE，BC，CG分别与⊙O相切于E，F，G三点，且BE∥CG．
（1）求证：B0⊥CO；
（2）延长B0交CG的延长线于D，连接FG，若$\frac{FG}{BD}$=$\frac{4}{5}$，求tan∠BCD的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，根据切线长定理以及平行线的性质即可证明．
（2）如图2中，连接OC交FG于N，作FM⊥CD于M．由FG∥BD，得$\frac{FG}{BD}$=$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{4}{5}$，设CN=4k，OC=5k，想办法求出FM、CM即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，∵BE、BC、CG是⊙O切线，
∴∠OBE=∠OBF，∠OCF=∠OCG，
∵EB∥CG，
∴∠EBC+∠GCB=180°，
∴2∠OBC+2∠OCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴OB⊥OC．
（2）解：如图2中，连接OC交FG于N，作FM⊥CD于M，则OF⊥CF．
∵CG=CF，∠OCG=∠OCF，
∴OC⊥FG，∴OC⊥BD，
∴FG∥BD，
∴$\frac{FG}{BD}$=$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{4}{5}$，设CN=4k，OC=5k，
∴ON=k，
∵OF²=ON•OC，CF²=CN•CO，FN²=ON•CN，
∴OF=$\sqrt{5}$k，CF=CG=2$\sqrt{5}$k，FN=2k，
∵$\frac{1}{2}$FG•CN=$\frac{1}{2}$•CG•FM，
∴FM=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$k，
∴CM=$\sqrt{C{F}^{2}-F{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}k）^{2}-（\frac{8\sqrt{5}}{5}k）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$k，
∴tan∠BCD=$\frac{FM}{CM}$=$\frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}k}{\frac{6\sqrt{5}}{5}k}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、切线长定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住射影定理的应用，属于中考常考题型．