Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，∠ADC与∠BAD的平分线分别交BC于点E、F，且AF⊥DE，垂足为G
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）由垂线的定义得出∠DAF+∠ADE=90°，由角平分线得出∠BAD+∠ADC=180°，证出AB∥CD，由AB=CD，即可证出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行线的性质和角平分线证出∠BAF=∠AFB，得出BF=AB=4；同理：CE=CD=4，求出EF的长，即可得出CF的长．

解答 （1）证明：∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∵∠ADC与∠BAD的平分线分别交BC于点E、F，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，BC=AD=6，AD∥CB，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴BF=AB=4；
同理：CE=CD=4．
∴EF=BF+CE-BC═4+4-6=2，
∴CF=CE-EF=2．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．