Question

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点M，且BM=MC，过点D作BC的平行线，分别与AB、AC的延长线相交于点E、F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若BC=2$\sqrt{15}$，MD=$\sqrt{5}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理证得AD⊥BC，然后根据平行线的性质证得AD⊥EF，即可证得结论；
（2）连接OB，根据勾股定理求得OB和OM，由BC∥EF，证得△ABC∽△AEF，根据相似三角形的性质求得EF的长，解直角三角形ACM求得∠CAM=30°，进而求得CN的长和∠FCN=∠CAM=30°，解直角三角形求得NF，得出EN，然后根据勾股定理即可求得．

解答 （1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD与BC相交于点M，且BM=MC，
∴AD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：连接OB，
在△OBM中，BM²+OM²=OB，即（$\sqrt{15}$）+（OB-$\sqrt{5}$）=OB²，OB=2$\sqrt{5}$ 
∴OM=MD=$\sqrt{5}$，
∵BC∥EF，
∴△ABC∽△AEF
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{BC}{EF}$，
∴EF=$\frac{AD•BC}{AM}$=$\frac{4\sqrt{5}×2\sqrt{15}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{15}}{3}$，
∵tan∠CAM=$\frac{MC}{AM}$=$\frac{\sqrt{15}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAM=30°，
作CN⊥EF，
∵AD⊥EF，
∴CN∥AD，
∴∠FCN=∠CAM=30°，
∵BC∥EF，
∴四边形MDNC是矩形，
∴CN=MD=$\sqrt{5}$，
∴NF=CN•tan30°=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴EN=EF-NF=$\frac{8\sqrt{15}}{3}$-$\frac{\sqrt{15}}{3}$=$\frac{7\sqrt{15}}{3}$，
∴EC=$\sqrt{E{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{195}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，垂径定理的应用，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．