Question

4．已知在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，且BE=CD，求证：AB=AC．

Answer 1

分析 根据角平分线定理得到比例式：$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}$①，$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$，由于BE=CD，得到$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{CD}$②，①÷②得：$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{AC-CD}{AB-BE}$=$\frac{AC-CD}{AB-CD}$，化简得（AB-AC）（AB+AC-CD）=0，由于AB+AC-CD≠0，得到AB-AC=0，于是得到结论．

解答 证明：∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}$ ①，$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$，
∵BE=CD，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{CD}$ ②，
①÷②得：$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{AC-CD}{AB-BE}$=$\frac{AC-CD}{AB-CD}$，
∴AB²-AB•CD=AC²-AC•CD，
∴AB²-AC²=（AB-CD）•CD，
化简得（AB-AC）（AB+AC-CD）=0，
∵AB+AC-CD≠0，
∴AB-AC=0，
即AB=AC．

点评 本题考查了角平分线定理，因式分解，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．