Question

3．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x与x轴交于O、A两点，点C为第四象限的抛物线上一点，且OC⊥AC，求点C的坐标．

Answer 1

分析 可先求得A点坐标，设C点坐标为（x，y），过C作CD⊥x轴于点D，可证明△ODC∽△CDA，可得到关于x、y的方程，可求得C点坐标．

解答 解：在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x中，令y=0可得0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x，解得x=0或x=5，
∴A点坐标为（5，0），
∴OA=5，
如图，过C作CD⊥x轴于点D，

设C点坐标为（x，y），
∵C在第四象限，
∴y＜0，
∴OD=x，CD=-y，AD=5-x，
∵OC⊥AC，
∴∠COD+∠OCD=∠OCD+∠DCA=90°，
∴∠DOC=∠DCA，
∴△ODC∽△CDA，
∴CD²=OD•DA，即y²=x（5-x），
∵C在抛物线上，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x，
∴（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x）²=x（5-x），
解得x=1或x=4，此时y=-2，
∴C点坐标为（1，-2）或（4，-2）．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点及相似三角形的判定和性质，利用三角形相似找到C点坐标满足的关系式是解题的关键．