Question

8．如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°＜∠ACF＜45°．
（1）求证：△BEC≌△CFA；
（2）若AF=5，EF=8，求BE的长；
（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠B=∠ACF，即可根据AAS证明两三角形全等．
（2）由△BEC≌△CFA，推出AF=CE=5，BE=CF，由CF=CE+EF=5+8=13，即可解决问题．
（3）△QEF是等腰直角三角形．如图，由此EQ交AF的延长线于M．只要证明△BQE≌△AQM，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠BCA=∠BEC=∠F=90°，
∴∠BCE+∠B=90°，∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠B=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{∠BEC=∠F}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CFA．

解：（2）∵△BEC≌△CFA，
∴AF=CE=5，BE=CF，
∵CF=CE+EF=5+8=13，
∴BE=13．

（3）结论：△QEF是等腰直角三角形．
理由：如图，由此EQ交AF的延长线于M．
∵BE⊥CF，AF⊥CF，
∴BE∥AM，
∴∠BEQ=∠M，
在△BQE和△AQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEQ=∠M}\\{∠BQE=∠AQM}\\{BQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△BQE≌△AQM，
∴EQ=QM，BE=AM=CF，
∵CE=AF，
∴FE=FM，
∴FQ⊥EM，QF=QM=QE，
∴△QEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会解题常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．