Question

6．如图1，平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与抛物线y=ax²+$\frac{9}{4}$x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；
（3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式，求出A与B的坐标，代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）由M在抛物线图象上，设出M坐标，分两种情况考虑：①当∠MBA=90°时；②当∠BAM′=90°时，分别求出M坐标即可；
（3）根据t的范围，分三种情况考虑：当0≤t≤$\frac{1}{3}$时；当$\frac{1}{3}$≤t≤3时；当3≤t≤5时，分别确定出S与t的函数解析式即可．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+3，
当y=0时，0=-$\frac{3}{4}$x+3，即x=4，
∴A（4，0），
当x=0时，y=3，即B（0，3），
把A与B坐标代入y=ax²+$\frac{9}{4}$x+c中，得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+9+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；″
（2）设M坐标为（x，-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3），
①当∠MBA=90°时，如图1，作MN⊥y轴，则有∠MNO=90°，
∴∠NMB+∠MBN=90°，
∵∠MBN+∠ABM+∠ABO=180°，
∴∠MBN+∠ABO=90°，
∴∠NMB=∠ABO，
∵∠MNO=∠BOA，
∴△MNB∽△BOA，
∴$\frac{MN}{BO}$=$\frac{BN}{AO}$，
即$\frac{x}{3}$=$\frac{-\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x+3-3}{4}$，
解得：x=$\frac{11}{9}$或x=0（舍去），
当x=$\frac{11}{9}$时，y=$\frac{125}{27}$，即M（$\frac{11}{9}$，$\frac{125}{27}$）；
②当∠BAM′=90°时，易知△AM′N′∽△BAO，∴$\frac{A{N}^{′}}{BO}=\frac{M′N′}{AO}$，
即$\frac{4-x}{3}=\frac{\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{9}{4}x-3}{4}$，解得x=-$\frac{25}{9}$或4（舍去），当x=-$\frac{25}{9}$时，y=-$\frac{244}{27}$，
即M′（-$\frac{25}{9}$，-$\frac{244}{27}$），
则满足条件M的坐标为（$\frac{11}{9}$，$\frac{125}{27}$）或（-$\frac{25}{9}$，-$\frac{244}{27}$）；
（3）如图2所示，当D点运动到x轴上时，易知△AD′E′∽△ABO，
∴$\frac{AE′}{AO}=\frac{D′E′}{BO}$，∴AE′=$\frac{8}{3}$，∴EE′=AB-BE-AE′=5-2-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴当0≤t≤$\frac{1}{3}$时，S=2；
当$\frac{1}{3}$≤t≤3时，S=-$\frac{9}{56}$t²+$\frac{3}{28}$t+$\frac{111}{56}$；  
当3≤t≤5时，S=$\frac{3}{14}$t²-$\frac{15}{7}$t+$\frac{75}{14}$．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定抛物线解析式，相似三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．