Question

17．如图，已知A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，以斜边OA₂为直角边作直角三角形，使得∠A₂OA₃=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt△A₂₀₁₄OA₂₀₁₅的最小边长为（　　）

• A． 2²⁰¹³
• B． 2²⁰¹⁴
• C． （$\frac{2}{\sqrt{3}}$）²⁰¹³
• D． （$\frac{2}{\sqrt{3}}$）²⁰¹⁴

Answer 1

分析 在直角三角形OA₁A₂中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OA₂=2A₁A₂，由A₁A₂的长求出OA₂的长，在直角三角形OA₂A₃中，利用锐角三角函数定义得到tan∠A₂OA₃等于A₂A₃与OA₂的比值，求出A₂A₃的长，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA₃的长，同理求出A₃A₄的长，以此类推得到直角三角形△A₂₀₁₄OA₂₀₁₅的最小边长A₂₀₁₄A₂₀₁₅即可．

解答 解：在Rt△OA₁A₂中，A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，
∴OA₂=2A₁A₂=2，
在Rt△OA₂A₃中，OA₂=2，∠OA₂A₃=90°，∠A₂OA₃=30°，
∴A₂A₃=OA₂tan∠A₂OA₃=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OA₃=2A₂A₃=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
在Rt△OA₃A₄中，OA₃=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，∠OA₃A₄=90°，∠A₃OA₄=30°，
∴A₃A₄=OA₃tan∠A₃OA₄=$\frac{4}{\sqrt{3}}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=（$\frac{2}{\sqrt{3}}$）²，
以此类推，Rt△A₂₀₁₄OA₂₀₁₅的最小边长A₂₀₁₄A₂₀₁₅=（$\frac{2}{\sqrt{3}}$）²⁰¹³．
故选C．

点评 此题考查了勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，属于规律型试题，利用了转化的思想，锻炼了学生归纳总结的能力．