Question

10．已知：∠1=∠2，3=∠4，过点P作PD∥BC交直线AB于点D，交直线AC于点H，PK∥AC交直线BC于点K，请你解答下列问题：

（1）如图1，求证：BD=DH-PK；
（2）如图2、3，DH、PK又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若DB=10，CH=4，则DH=14或6．

Answer 1

分析 （1）证明四边形PKCH为菱形，得出PK=HC=PH，即可得出结论；
（2）证明四边形PKCH为菱形，得出PK=PH，即可得出结论；
（3）在（1）（2）的条件下容易得出DH的长．

解答 （1）证明：如图1所示：
∵PH∥BC，PK∥AC，
∴四边形PKCH是平行四边形，∠2=∠DPB，∠3=∠CPH，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠DPB，∠4=∠CPH，
∴BD=DP，PH=HC，
∴四边形PKCH为菱形，
∴PK=HC=PH，
∴DH=DP+PH=BD+HC=BD+PK，
∴BD=DH-PK；
（2）解：图2猜想：BD=DH+PK；理由如下：如图2所示：
∵PH∥BC，PK∥AC，
∴四边形PKCH是平行四边形，∠2=∠DPB，∠3=∠CPH，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠DPB，∠4=∠CPH，
∴BD=DP，PH=HC，
∴四边形PKCH为菱形，
∴PK=PH，
∴DP=DH+PK，
∴BD=DH+PK；
图3猜想：BD=DH-PK；理由如下：如图3所示：
∵PH∥BC，PK∥AC，
∴四边形PKCH是平行四边形，∠2=∠DPB，∠3=∠CPH，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠DPB，∠4=∠CPH，
∴BD=DP，PH=HC，
∴四边形PKCH为菱形，
∴PK=PH，
∴DP=DH-PK，
∴BD=DH-PK；
（3）解：在（1）的条件下，
∵CH=PK，BD=DH-PK，
∴DH=BD+CH=10+4=14；
在（2）的条件下，图3同（1）得：DH=14；
图2情况下，∵CH=PK，BD=DH+PK，
∴DH=BD-CH=10-4=6．
故答案为：14或6．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；证明四边形为菱形是解决问题的关键．