Question

18．如图，直线y=kx-2与x轴，y轴分别交于点B，C，且OC=2OB，A为直线BC上一动点．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）当△AOB的面积是4时，求A点在第一象限的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线解析式，令x=0求出y的值，确定出C的长，进而求出OC的长，根据OC=2OB求出OB的长，确定出B坐标，代入直线解析式求出k的值即可；
（2）三角形AOB以OB为底边，A纵坐标为高，表示出面积，根据面积为4求出A的纵坐标，代入直线解析式求出横坐标，即可确定出A的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，分三种情况考虑：①若OA=OP₁时，△OP₁A为等腰三角形；②若AP₂=OP₂时，△OP₂A为等腰三角形；③若OA=AP₃时，△OAP₃为等腰三角形，分别求出P坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=kx-2，
令x=0，得到y=-2，即C（0，-2），
∵OC=2OB，OC=2，
∴OB=1，即B（1，0），
把B（1，0）代入直线解析式得：k=2；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$OB•y_A=4，OB=1，
∴y_A=8，
把y=8代入y=2x-2中，得x=5，
则A的坐标为（5，8）；
（3）在（2）的条件下，在x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，
如图所示，分三种情况考虑：
①若OA=OP₁时，△OP₁A为等腰三角形，
根据勾股定理得：OA=$\sqrt{{5}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{89}$，
∴OP₁=$\sqrt{89}$，即P₁坐标为（-$\sqrt{89}$，0）；
②若AP₂=OP₂时，△OP₂A为等腰三角形，DP₂垂直平分线段OA，
∵直线OA解析式为y=$\frac{8}{5}$x，D坐标为（$\frac{5}{2}$，4），
∴直线P₂D解析式为y-4=-$\frac{5}{8}$（x-$\frac{5}{2}$），
令y=0，得到x=8.9，即P₂（8.9，0）；
③若OA=AP₃时，△OAP₃为等腰三角形，
过A作AE⊥x轴，可得OE=P₃E=5，即OP₃=10，此时P₃（10，0），
综上，在（2）的条件下，在x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，P的坐标为（-$\sqrt{89}$，0）或（8.9，0）或（10，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．