Question

5．如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E．
（1）若PB平分∠ABO，求证：AP=CD；
（2）若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）

Answer 1

分析 （1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（2）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=$\sqrt{2}$x，即可得出答案．

解答 解：（1）如图1，

∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠ABP=∠4}\\{PB=PD}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
（2）CD′与AP′的数量关系是CD′=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AP′．如图2，

理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，
则AP=2x+x=3x，
由△OBP≌△EPD，得BO=PE，
PE=2x，CE=2x-x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD=$\sqrt{2}$x，
即AP=3x，CD=$\sqrt{2}$x，
∴CD′与AP′的数量关系是CD′=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AP′．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．